正四面体型調和関数（その３）
\(L=10\)の基底を取り出す
\(L=10\)の基底は、\(A_{1}\)表現の基底と\(A_{2}\)表現の基底が\(1\)つずつある。\(A_{1}\)表現の基底は、\(|\psi_{4}>\)と\(|\psi_{6,o}>\)の合成系から取り出す。
\begin{align*}
|\psi_{4}>|\psi_{6,o}>&=\frac{\sqrt{6}}{48}(\sqrt{5}(|4,4>+|4,-4>)+\sqrt{2\cdot 7}|4,0>)(\sqrt{7}(|6,4>+|6,-4>)-\sqrt{2}|6,0>) \\
&=\frac{\sqrt{6}}{48}(\sqrt{5\cdot 7}(|4,6,4,4>+|4,6,4,-4>+|4,6,-4,4>+|4,6,-4,-4>) \\
&-\sqrt{2\cdot 5}(|4,6,4,0>+|4,6,-4,0>)+7\sqrt{2}(|4,6,0,4>+|4,6,0,-4>)-2\sqrt{7}|4,6,0,0>)
\end{align*}
であるが、そのうちの\(L=10\)の成分に注目すると、\(3j\)記号を用いて、
\begin{align*}
<10,8|4,6,4,4>=(-1)^{4-6+10}\sqrt{2\cdot 10+1}\begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 4 & 4 & -8 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 4 & 4 & -8 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{11}{5\cdot 7\cdot 19}} \\
<10,4|4,6,4,0>=(-1)^{4-6+10}\sqrt{2\cdot 10+1}\begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 4 & 0 & -4 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 4 & 0 & -4 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{11}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 19}} \\
<10,4|4,6,0,4>=(-1)^{4-6+10}\sqrt{2\cdot 10+1}\begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{11}{2\cdot 3\cdot 17\cdot 19}} \\
<10,0|4,6,4,-4>=(-1)^{4-6+10}\sqrt{2\cdot 10+1}\begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 4 & -4 & 0 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 4 & -4 & 0 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{1}{2\cdot 7\cdot 13\cdot 7\cdot 19}} \\
<10,0|4,6,0,0>=(-1)^{4-6+10}\sqrt{2\cdot 10+1}\begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{2\cdot 5\cdot 7}{13\cdot 17\cdot 19}} \\
\end{align*}
\[<10,0|4,6,-4,4>=(-1)^{4+6-10}<10,4|4,6,4,-4>=<10,4|4,6,4,-4>\]
\[<10,-4|4,6,-4,0>=(-1)^{4+6-10}<10,4|4,6,4,0>=<10,4|4,6,4,0>\]
\[<10,-4|4,6,0,-4>=(-1)^{4+6-10}<10,4|4,6,0,4>=<10,4|4,6,0,4>\]
\[<10,-8|4,6,-4,-4>=(-1)^{4+6-10}<10,8|4,6,4,4>=<10,8|4,6,4,4>\]
より、
\[|\psi_{10}>\propto \sqrt{\frac{11}{19}}(|10,8>+|10,-8>)+6\sqrt{\frac{11}{3\cdot 17\cdot 19}}(|10,4>+|10,-4>)-26\sqrt{\frac{5}{2\cdot 13\cdot 17\cdot 19}}|10,0>\]
なので、規格化条件から、
\[|\psi_{10}>=\frac{1}{48}\sqrt{3\cdot 11\cdot 17}(|10,8>+|10,-8>)+\frac{1}{8}\sqrt{11}(|10,4>+|10,-4>)-\frac{1}{48}\sqrt{2\cdot 3\cdot 5\cdot 13}|10,0>\]
である。
\(A_{2}\)表現の基底は、\(|\psi_{4}>\)と\(|\psi_{6,t}>\)の合成系から取り出す。
\begin{align*}
|\psi_{4}>|\psi_{6,t}>&=\frac{1}{8}(\sqrt{5}(|4,4>+|4,-4>)+\sqrt{2\cdot 7}|4,0>)(\sqrt{5}(|6,6>+|6,-6>)-\sqrt{11}(|6,2>+|6,-2>)) \\
&=\frac{1}{8}(5(|4,6,4,6>+|4,6,4,-6>+|4,6,-4,6>+|4,6,-4,-6>) \\
&-\sqrt{5\cdot 11}(|4,6,4,2>+|4,6,4,-2>+|4,6,-4,2>+|4,6,-4,-2>) \\
&+\sqrt{2\cdot 5\cdot 7}(|4,6,0,6>+|4,6,0,-6>)-\sqrt{2\cdot 7\cdot 11}(|4,6,0,2>+|4,6,0,-2>))
\end{align*}
であるが、そのうちの\(L=10\)の成分に注目すると、\(3j\)記号を用いて、
\begin{align*}
<10,10|4,6,4,6>=(-1)^{4-6+10}\sqrt{2\cdot 10+1}\begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 4 & 6 & -10 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 4 & 6 & -10 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{1}{3\cdot 7}} \\
<10,6|4,6,4,2>=(-1)^{4-6+10}\sqrt{2\cdot 10+1}\begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 4 & 2 & -6 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 4 & 2 & -6 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{11}{7\cdot 17\cdot 19}} \\
<10,6|4,6,0,6>=(-1)^{4-6+10}\sqrt{2\cdot 10+1}\begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 0 & 6 & -6 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 0 & 6 & -6 \end{pmatrix} =\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{17\cdot 19}} \\
<10,2|4,6,-4,6>=(-1)^{4-6+10}\sqrt{2\cdot 10+1}\begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ -4 & 6 & -2 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ -4 & 6 & -2 \end{pmatrix} =\frac{1}{3}\sqrt{\frac{11}{2\cdot 5\cdot 7\cdot 13\cdot 17\cdot 19}} \\
<10,2|4,6,4,-2>=(-1)^{4-6+10}\sqrt{2\cdot 10+1}\begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 4 & -2 & -2 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 4 & -2 & -2 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{11}{2\cdot 7\cdot 13\cdot 17\cdot 19}} \\
<10,2|4,6,0,2>=(-1)^{4-6+10}\sqrt{2\cdot 10+1}\begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 4 & 6 & 10 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{5\cdot 11}{13\cdot 17\cdot 19}} \\
\end{align*}
\[<10,-2|4,6,-4,2>=(-1)^{4+6-10}<10,2|4,6,4,-2>=<10,2|4,6,4,-2>\]
\[<10,-2|4,6,4,-6>=(-1)^{4+6-10}<10,2|4,6,-4,6>=<10,2|4,6,-4,6>\]
\[<10,-6|4,6,0,-6>=(-1)^{4+6-10}<10,6|4,6,0,6>=<10,6|4,6,0,6>\]
\[<10,-6|4,6,-4,-2>=(-1)^{4+6-10}<10,6|4,6,4,2>=<10,6|4,6,4,2>\]
\[<10,-10|4,6,-4,-6>=(-1)^{4+6-10}<10,10|4,6,4,6>=<10,10|4,6,4,6>\]
より、
\[|\psi_{10}>\propto 5\sqrt{\frac{1}{3\cdot 7}}(|10,10>+|10,-10>)-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{5\cdot 19}{7\cdot 17}}(|10,6>+|10,-6>)-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2\cdot 5\cdot 13\cdot 19}{7\cdot 17}}(|10,2>+|10,-2>)\]
なので、規格化条件から、
\[|\psi_{10}>=\frac{1}{32}\sqrt{2\cdot 5\cdot 17}(|10,10>+|10,-10>)-\frac{1}{96}\sqrt{2\cdot 3\cdot 19}(|10,6>+|10,-6>)-\frac{1}{48}\sqrt{3\cdot 13\cdot 19}(|10,2>+|10,-2>)\]
である。
\(L=10\)の\(A_{1}\)表現の基底は\(z\)軸回りの\(1/4\)回転について不変で、正八面体の対称性ももつので、
\[|\psi_{10,o}>=\frac{1}{48}\sqrt{3\cdot 11\cdot 17}(|10,8>+|10,-8>)+\frac{1}{8}\sqrt{11}(|10,4>+|10,-4>)-\frac{1}{48}\sqrt{2\cdot 3\cdot 5\cdot 13}|10,0>\]
と表し、\(A_{2}\)表現の基底は、
\[|\psi_{10,t}>=\frac{1}{32}\sqrt{2\cdot 5\cdot 17}(|10,10>+|10,-10>)-\frac{1}{96}\sqrt{2\cdot 3\cdot 19}(|10,6>+|10,-6>)-\frac{1}{48}\sqrt{3\cdot 13\cdot 19}(|10,2>+|10,-2>)\]
と表して区別する。
\(L=11\)の基底を取り出す
\(L=11\)の基底を\(|\psi_{3}>\)と\(|\psi_{8}>\)の合成系から取り出す。
\begin{align*}
|\psi_{3}>|\psi_{8}>&=\frac{\sqrt{2}}{96}(|3,2> - |3,-2>)(\sqrt{2\cdot 3\cdot 5\cdot 13}(|8,8>+|8,-8>)+2\sqrt{2\cdot 3\cdot 7}(|8,4>+|8,-4>)+6\sqrt{3\cdot 11}|8,0>) \\
&=\frac{\sqrt{2}}{96}
(\sqrt{2\cdot 3\cdot 5\cdot 13}(|3,8,2,8>-|3,8,-2,8>+|3,8,2,-8>+|3,8,-2,-8>) \\
&+2\sqrt{2\cdot 3\cdot 7}(|3,8,2,4>-|3,8,-2,4>+|3,8,2,-4>+|3,8,-2,-4>)+6\sqrt{3\cdot 11}(|3,8,2,0>-|3,8,-2,0>))
\end{align*}
であるが、そのうちの\(L=11\)の成分に注目すると、\(3j\)記号を用いて、
\begin{align*}
<11,10|3,8,2,8>=(-1)^{3-8+11}\sqrt{2\cdot 11+1}\begin{pmatrix} 3 & 8 & 11 \\ 2 & 8 & -10 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 3 & 8 & 11 \\ 2 & 8 & -10 \end{pmatrix} =\sqrt{\frac{3}{11\cdot 23}} \\
<11,6|3,8,2,4>=(-1)^{3-8+11}\sqrt{2\cdot 11+1}\begin{pmatrix} 3 & 8 & 11 \\ 2 & 4 & -6 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 3 & 8 & 11 \\ 2 & 4 & -6 \end{pmatrix} =-2\sqrt{\frac{5\cdot 13}{3\cdot 11\cdot 19\cdot 23}} \\
<11,6|3,8,-2,8>=(-1)^{3-8+11}\sqrt{2\cdot 11+1}\begin{pmatrix} 3 & 8 & 11 \\ -2 & 8 & -6 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 3 & 8 & 11 \\ -2 & 8 & -6 \end{pmatrix} =-\sqrt{\frac{1}{3\cdot 7\cdot 11\cdot 19\cdot 23}} \\
<11,2|3,8,-2,4>=(-1)^{3-8+11}\sqrt{2\cdot 11+1}\begin{pmatrix} 3 & 8 & 11 \\ -2 & 4 & -2 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 3 & 8 & 11 \\ -2 & 4 & -2 \end{pmatrix} =-\sqrt{\frac{2\cdot 3\cdot 13}{11\cdot 17\cdot 19\cdot 23}} \\
<11,2|3,8,2,0>=(-1)^{3-8+11}\sqrt{2\cdot 11+1}\begin{pmatrix} 3 & 8 & 11 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix},\
& \begin{pmatrix} 3 & 8 & 11 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} =-3\sqrt{\frac{3\cdot 13}{7\cdot 17\cdot 19\cdot 23}} \\
\end{align*}
\[<11,-2|3,8,-2,0>=(-1)^{3+8-11}<11,2|3,8,2,0>=<11,2|3,8,2,0>\]
\[<11,-2|3,8,2,-4>=(-1)^{3+8-11}<11,2|3,8,-2,4>=<11,2|3,8,-2,4>\]
\[<11,-6|3,8,2,-8>=(-1)^{3+8-11}<11,6|3,8,-2,8>=<11,6|3,8,-2,8>\]
\[<11,-6|3,8,-2,-4>=(-1)^{3+8-11}<11,6|3,8,2,4>=<11,6|3,8,2,4>\]
\[<11,-10|3,8,-2,-8>=(-1)^{3+8-11}<11,10|3,8,2,8>=<11,10|3,8,2,8>\]
より、
\begin{align*}
|\psi_{11}>& \propto -\sqrt{\frac{3\cdot 5\cdot 13}{11\cdot 23}}(|11,10>-|11,-10>)
-27\sqrt{\frac{5\cdot 13}{3\cdot 7\cdot 11\cdot 19\cdot 23}}(|11,6>-|11,-6>) \\
&-85\sqrt{\frac{2\cdot 3\cdot 13}{7\cdot 11\cdot 17\cdot 19\cdot 23}}(|11,2>-|11,-2>)
\end{align*}
なので、規格化条件から、
\[|\psi_{11}>=\frac{1}{48}\sqrt{3\cdot 7\cdot 19}(|11,10>-|11,-10>)
+\frac{3}{16}\sqrt{3}(|11,6>-|11,-6>)+\frac{1}{48}\sqrt{2\cdot 3\cdot 5\cdot 17}(|11,2>-|11,-2>)\]
である。
